الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 7 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \\ 8 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

خطوة 1

لتحديد ما إذا كانت الأعمدة في المصفوفة تابعة خطيًا أم لا، حدد ما إذا كانت المعادلة $A x = 0$ بها أي حلول غير بسيطة.

خطوة 2

اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

خطوة 3

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $- 1$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $- 1$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.2

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.4

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $\frac{1}{19}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $\frac{1}{19}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.5

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.6

اضرب كل عنصر من $R_{3}$ في $- \frac{19}{146}$ لجعل الإدخال في $3, 3$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب كل عنصر من $R_{3}$ في $- \frac{19}{146}$ لجعل الإدخال في $3, 3$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.6.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.7

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.7.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.8

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.9

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.9.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4

اكتب المصفوفة كسلسلة معادلات خطية.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

خطوة 5

بما الحل الوحيد لـ $A x = 0$ هو حل بسيط، إذن المتجهات تُعد تابعة خطيًا.

مستقلة خطيًا